Giới thiệu về phân phối Poisson (Pó son)
Phân phối Poisson có mối quan hệ với phân phối nhị thức (binomial distribution). Nếu đã biết về phân phối nhị thức thì học về phân phối Poisson sẽ dễ dàng hơn.
Phân phối Poisson có nhiều ứng dụng trong xác xuất, thống kê, trong lý thuyết xếp hàng (queuing theory). Bây giờ ta sẽ xem xét một ứng dụng của phân phối Poisson trong việc lý thuyết xếp hàng.
Tại một siêu thị, đang có một nhóm khách hàng đang chờ đợi để thanh toán tiền. Thời gian lúc này là 4h30, và bạn là thu ngân tại một quầy. Ca trực của bạn sẽ kết thúc lúc 5h và thông thường quầy của bạn phải đóng (không nhận thêm khách hàng) 15 phút trước khi bạn hết ca (tức là bạn phải đóng quầy của mình lúc 4h45). Từ dữ liệu lưu trữ trong quá khứ, thông thường trung bình có 10 khách hàng đến quầy của bạn trong khoảng thời gian 4h30 đến 4h45.
Câu hỏi đặt ra là tính xác suất để có đúng 7 khách hàng đến quầy của bạn trong khoảng thời gian này và xác xuất để có hơn 10 khách hàng đến quầy của bạn.
Trong khoảng thời gian đã cho, có thể xảy ra trường hợp không có khách hàng nào đến quầy của bạn (mặc dù khả năng này rất ít) và cũng có thể có rất nhiều khách hàng đến cửa hàng của bạn. Tuy nhiên, ta đoán rằng có khoảng 10 khách hàng đến quầy của bạn.
Trong trường hợp này, ta có thể dùng phân phối Poisson để mô tả xác suất số lượng khách hàng đến quầy của bạn. Phân phối Poisson nghiên cứu số lần xảy ra của một sự kiện (hiếm xảy ra) trong một khoảng thời gian cho trước. Ta thường dùng kí hiệu $\lambda$ hay $\mu$ để chỉ trung bình số lần sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian cho trước. Chằng hạn trong trường hợp đang xét thì $\lambda = 10$. Một số đặc tính của phân phối Poisson là:
1. Giá trị của biến ngẫu nhiên x số lần xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian xét là số tự nhiên từ 0, 1, 2, ....
2. Phân phối Poisson thường dùng để tính xác suất xảy ra của các sự kiện rời rạc ít khi xảy ra (rare or infrequent events) trong một khoảng thời gian cho trước.
3. Sự kiện xảy ra lần sau không bị tác động nào của sự kiện xảy ra lần trước.
4. Số trung bình số lần xảy ra sự kiện cố định trong suốt thời gian xét.
5. Công thức tính xác suất để có k lần xảy ra là $$P(x = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.$$
Để trả lời câu hỏi lúc đầu ta tính $P(x = 7) = \frac{10^7e^{-10}}{7!}=0.09.$ Vậy xác suất để có đúng 7 khách hàng đến quầy của bạn trong khoảng thời gian đã cho là $9\%$
Để tính $P(x>=11) = 1- P(x<=10) = 1-0.583 = 0.417$, vậy xác suất có hơn $10$ khách hàng đến quầy của bạn là $41,7\%$.
Câu hỏi thêm: Trung bình bao nhiêu khách hàng sẽ đến quầy của bạn từ 4h30 đến 4h40? Nếu chúng ta không có dữ liệu theo dõi trong khoảng thời gian này, thì chúng ta có thể xấp xỉ kết quả bằng cách suy ra từ dữ liệu có trung bình 10 khách hàng đến quầy của bạn trong 15 phút thì xấp xỉ có khoảng 6,67 khách hàng đến quầy của bạn trong 10 phút.
Quá trình ngẫu nhiên Poisson có nhiều ứng dụng trong tài chính. Chúng ta cần nắm vững quá trình ngẫu nhiên này trước khi có thể áp dụng nó vào toán tài chính. Các bài giảng về XSTK của MIT, của Haward
Các bài giảng về POISSON process
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét